4D_3/2026
Erwägungen:
1. Mit Entscheid vom 10. Juli 2025 schrieb der Einzelrichter am Kantonsgericht Zug ein Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege zufolge Gegenstandslosigkeit ab.
Mit Urteil vom 9. Dezember 2025 wies das Obergericht des Kantons Zug eine vom Beschwerdeführer gegen den Entscheid vom 10. Juli 2025 erhobene Beschwerde ab. Es erwog, das Kantonsgericht habe das Verfahren zu Recht zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben; das Gesuch wäre aber auch mangels Bedürftigkeit abzuweisen gewesen.
Mit Eingabe vom 7. Januar 2026 erklärte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zug vom 9. Dezember 2025 mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Am 29. Januar 2026 reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht eine weitere Eingabe samt Unterlagen ein.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2. Die Eingaben des Beschwerdeführers vom 7. und 29. Januar 2026 erfüllen die Begründungsanforderungen, die an eine Beschwerde an das Bundesgericht gestellt werden, offensichtlich nicht (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 III 364 E. 2.4; 140 III 86 E. 2, 115 E. 2).
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung im vereinfachten Verfahren nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG).
3. Das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erschien (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten stehen keine Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3. Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4. Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5. Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zug, II. Beschwerdeabteilung, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Februar 2026
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Hurni
Der Gerichtsschreiber: Leemann