Progetto

Ordinanza sulla sorveglianza «%ASFF_YYYY_ID»

Allegato 3 (art. 36)

Expected shortfall

Per un livello di probabilità 𝑢𝑢 ∈ (0,1) il quantile 𝑢𝑢 𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋) di una variabile aleatoria 𝑋𝑋 (perdite di segno negativo) inferiore al grado di probabilità 𝑃𝑃 è definito come

𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋) = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖{𝑥𝑥 ∈ ℝ | 𝑃𝑃[𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥] ≥ 𝑢𝑢}

L’expected shortfall 𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] di una variabile aleatoria 𝑋𝑋 con un livello di probabilità che si verifichi l’evento 𝛼𝛼 ∈ (0,1) (generalmente esiguo) è definita come

𝛼𝛼

1

𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] = � 𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛼𝛼

0

Se la distribuzione di 𝑋𝑋 è continua, l’expected shortfall 𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] è data dal valore atteso condizionato

𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋|𝑋𝑋 ≤ 𝑞𝑞𝛼𝛼(𝑋𝑋)]