Vorlage

Verordnung «%ASFF_YYYY_ID»

Anhang 3 (Art. 36)

Expected Shortfall

Für eine Eintrittswahrscheinlichkeit 𝑢𝑢 ∈ (0,1) ist das 𝑢𝑢-Quantil 𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋) einer Zufallsvariablen 𝑋𝑋 (Verluste mit negativem Vorzeichen) unter dem Wahrscheinlichkeitsmass 𝑃𝑃 definiert als

𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋) = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖{𝑥𝑥 ∈ ℝ | 𝑃𝑃[𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥] ≥ 𝑢𝑢}

Der Expected Shortfall 𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] einer Zufallsvariablen 𝑋𝑋 bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit 𝛼𝛼 ∈ (0,1) (typischerweise klein) ist definiert als

𝛼𝛼

1

𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] = � 𝑞𝑞𝑢𝑢(𝑋𝑋)𝑑𝑑𝑢𝑢

𝛼𝛼

0

Falls die Verteilung von 𝑋𝑋 stetig ist, so ist der Expected Shortfall 𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] gegeben durch den bedingten Erwartungswert

𝐸𝐸𝐸𝐸𝛼𝛼[𝑋𝑋] = 𝐸𝐸[𝑋𝑋|𝑋𝑋 ≤ 𝑞𝑞𝛼𝛼(𝑋𝑋)]