Projet

Annexe 2

Expected Shortfall

1. Définitions

ES Expected Shortfall

E Espérance mathématique

X Variable stochastique pour la modélisation de la perte dans le calcul concer-

né

P Mesure de probabilité

α Probabilité de survenance (α faible, de 1 %, par ex.)

qα Seuil de la probabilité de survenance α

2. Seuil qα

Le seuil qα de la probabilité de survenance α est le plus grand minorant de tous les nombres réels x pour lesquels:

P[X > x]  α. (1)

3. Expected Shortfall dans le cas particulier d’une fonction de répartition continue de X

L’Expected Shortfall de X avec la probabilité de survenance α est l’espérance mathématique de X si X est plus grand que qα:

ES[X] = E[X | X > qα]. (2)

4. Expected Shortfall dans le cas général

L’Expected Shortfall de X avec la probabilité de survenance α est donné par l’égalité

¹ (3)

1

ES[X] qtdt

α

1

Le cas avec une répartition continue est compris dans le cas général. Dans le cas avec répartition continue, les formules (2) et (3) sont confondues.