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Anhang 2

Expected Shortfall

1. Begriffe

ES Expected Shortfall

E Erwartungswert

X Stochastische Variable für die Modellierung des Verlustes in der jeweiligen

Berechnung

P Wahrscheinlichkeitsmass

α Eintrittswahrscheinlichkeit (α klein, zum Beispiel α = 1 %)

qα Schwellenwert zur Eintrittswahrscheinlichkeit α

2. Schwellenwert qα

Der Schwellenwert qα zur Eintrittswahrscheinlichkeit α ist die grösste untere Schranke von allen reellen Zahlen x, für welche gilt:

P[X > x]  α. (1)

3. Expected Shortfall im Spezialfall einer stetigen Verteilungsfunktion von X Der Expected Shortfall von X mit der Eintrittswahrscheinlichkeit α ist der erwartete Wert von X unter der Bedingung, dass X grösser ist als qα:

ES[X] = E[X | X > qα]. (2)

4. Expected Shortfall im allgemeinen Fall

Der Expected Shortfall von X mit der Eintrittswahrscheinlichkeit α ist gegeben durch

¹ (3)

1

ES[X] qtdt

α

1

Der Fall mit stetiger Verteilung ist im allgemeinen Fall enthalten. Im Fall mit stetiger Verteilung fallen die Ausdrücke (2) und (3) zusammen.